Question

19．已知函數(shù)f（x）=（sin$\frac{x}{2}$+cos$\frac{x}{2}$）²-2$\sqrt{3}$cos²$\frac{x}{2}$+$\sqrt{3}$．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求f（x）在[0，π]上的值域．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角和輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增（遞減）區(qū)間；
（2）x∈[0，π]時(shí)，求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出f（x）的最大和最小值，即得到f（x）的值域．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=（sin$\frac{x}{2}$+cos$\frac{x}{2}$）²-2$\sqrt{3}$cos²$\frac{x}{2}$+$\sqrt{3}$．
化簡(jiǎn)可得：f（x）=1+sinx-$\sqrt{3}-\sqrt{3}$cosx+$\sqrt{3}$=sinx-$\sqrt{3}$cosx+1=2sin（x-$\frac{π}{3}$）+1，
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤x-\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}+2kπ$得$2kπ-\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{5π}{6}+2kπ$，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[$2kπ-\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}+2kπ$]，k∈Z．
由$\frac{π}{2}+2kπ≤x-\frac{π}{3}≤\frac{3π}{2}+2kπ$得$\frac{5π}{6}+2kπ$≤x≤$\frac{11π}{6}$+2kπ，
∴f（x）的單調(diào)減區(qū)間為[$\frac{5π}{6}+2kπ$，$\frac{11π}{6}+2kπ$]，k∈Z．
（2）由（1）可知f（x）=2sin（x-$\frac{π}{3}$）+1，
∵x∈[0，π]上，
∴x-$\frac{π}{3}$∈[$-\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
當(dāng)x-$\frac{π}{3}$=$-\frac{π}{3}$時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值為$-\frac{\sqrt{3}}{2}×2+1$=1$-\sqrt{3}$．
當(dāng)x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值為1×2+1=3．
故得函數(shù)f（x）在[0，π]上的值域?yàn)閇$1-\sqrt{3}$，3]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的化簡(jiǎn)能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題