Question

16．已知函數(shù)f（x）=x³-ax²-3x
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍
（2）若x=-$\frac{1}{3}$是函數(shù)f（x）的極值點，求函數(shù)f（x）在[1，a]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=3x²-2ax-3，∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)，f′（x）≥0在區(qū)間[1，+∞）上恒成立，由3x²-2ax-3≥0，化為：2a≤$\frac{3{x}^{2}-3}{x}$在區(qū)間[1，+∞）上恒成立．令g（x）=$\frac{3{x}^{2}-3}{x}$，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出．
（2）x=-$\frac{1}{3}$是函數(shù)f（x）的極值點，∴${f}^{′}（-\frac{1}{3}）$=0，解得a．可得x∈[1，4]．f′（x）=3x²-8x-3=（3x+1）（x-3），令f′（x）=0，解得x=3．列出表格，即可得出．

解答 解：（1）f′（x）=3x²-2ax-3，∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)，
∴f′（x）≥0在區(qū)間[1，+∞）上恒成立，∴3x²-2ax-3≥0，化為：2a≤$\frac{3{x}^{2}-3}{x}$在區(qū)間[1，+∞）上恒成立．
令g（x）=$\frac{3{x}^{2}-3}{x}$，則g′（x）=$\frac{3{x}^{2}+3}{{x}^{2}}$＞0在區(qū)間[1，+∞）上恒成立，∴函數(shù)h（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增．
∴h（x）_min=h（1）=0．∴2a≤0，解得a≤0．當(dāng)a=0時，只有f′（1）=0．
∴實數(shù)a的取值范圍是（-∞，0]．
（2）∵x=-$\frac{1}{3}$是函數(shù)f（x）的極值點，∴${f}^{′}（-\frac{1}{3}）$=$3×（-\frac{1}{3}）^{2}$-2a×$（-\frac{1}{3}）$-3=0，解得a=4．∴x∈[1，4]．
∴f′（x）=3x²-8x-3=（3x+1）（x-3），令f′（x）=0，解得x=3．
列出表格：

x	1	（1，3）	3	（3，4）	4
f′（x）		-	0	+
f（x）	-6	單調(diào)遞減	極小值-18	單調(diào)遞增	-12

由表格可得：函數(shù)f（x）在[1，4]上的最大值為f（1）=-6．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、方程與不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．