Question

1．已知雙曲線過點(diǎn)P（4，1），且它的兩條漸近線方程為x±2y=0
（1）求雙曲線的方程
（2）寫出它的頂點(diǎn)坐標(biāo)，焦點(diǎn)坐標(biāo)，并求離心率e．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，由雙曲線的漸近線方程可以設(shè)雙曲線的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=λ，（λ≠0），將P的坐標(biāo)代入計(jì)算可得λ的值，將λ的值代入雙曲線的方程中，即可得答案；
（2）由（1）中求出的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，分析可得a、b的值，計(jì)算可得c的值，結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)，分析可得答案．

解答 解：（1）根據(jù)題意，雙曲線的兩條漸近線方程為x±2y=0，即y=±$\frac{1}{2}$x，
設(shè)其方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=λ，（λ≠0）
又由雙曲線過點(diǎn)P（4，1），
則有$\frac{16}{4}$-1=λ，解可得λ=3，
則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{12}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）由（1）可得，雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{12}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
其中a=2$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{12+3}$=$\sqrt{15}$，
其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（±2$\sqrt{3}$，0），
焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±$\sqrt{15}$，0），
離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)與標(biāo)準(zhǔn)方程，關(guān)鍵是待定系數(shù)法求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．