Question

已知函數(shù)y=f（x）滿足f（x+1）=f（x-1），且x∈[-1，1]時，f（x）=x²，則函數(shù)y=f（x）與y=log₃|x|的圖象的交點的個數(shù)是

 

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Answer 1

考點：函數(shù)的圖象

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：f（x）是個周期為2的周期函數(shù)，且是個偶函數(shù)，在一個周期[-1，1）上，圖象是拋物線的一段，且 0≤f（x）≤1，同理得到在其他周期上的圖象；y=log₃|x|也是個偶函數(shù)，圖象過（1，0），和（3，1），結(jié)合圖象可得函數(shù)y=f（x）的圖象與函數(shù)y=log₃|x|的圖象的交點個數(shù)．

解答： 解：由題意知，函數(shù)y=f（x）是個周期為2的周期函數(shù)，且是個偶函數(shù)，在一個周期[-1，1）上，
圖象是拋物線的一段，且 0≤f（x）≤1，同理得到在其他周期上的圖象．
函數(shù)y=log₃|x|也是個偶函數(shù)，先看他們在[0，+∞）上的交點個數(shù)，
則它們總的交點個數(shù)是在[0，+∞）上的交點個數(shù)的2倍，
在（0，+∞）上，y=log₃|x|=log₃x，圖象過（1，0），和（3，1），是單調(diào)增函數(shù)，與f（x）交與2個不同點，
∴函數(shù)y=f（x）的圖象與函數(shù)y=log₃|x|的圖象的交點個數(shù)是4個．
故答案為4．

點評：本題主要考查函數(shù)的基本性質(zhì)--單調(diào)性、周期性，考查數(shù)形結(jié)合的思想．?dāng)?shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)解題中有重要作用，在掌握這種思想能夠給解題帶來很大方便．