Question

已知函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞），且滿足f（xy）=f（x）+f（y），f（

1

2

）=1，若對于x₁、x₂∈（0，+∞），都有

x1-x2

f(x1)-f(x2)

＜0
（1）求f（1）、f（2）；
（2）解不等式f（-x）+f（3-x）≥-2．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令x=y=1，可求f（1）；令x=2，y=

1

2

，可求f（2）．
（2）先令x=y=2，求出f（4），將原不等式化為f（-x）+f（3-x）≥f（4）即f[（-x）（3-x）]≥f（4），再由條件得到函數(shù)的單調(diào)性，注意定義域，得到不等式組，解出即可．

解答： 解：（1）由f（xy）=f（x）+f（y），
可得：f（1×1）=f（1）+f（1）∴f（1）=0，
又f(2×

1

2

)=f(2)+f(

1

2

)
∵f(

1

2

)=1∴f（2）=-1；
（2）∵f（2×2）=f（2）+f（2），
∴f（4）=2f（2）=-2，
∴f（-x）+f（3-x）≥f（4）
∴

-x＞0 3-x＞0 f[(-x)(3-x)]≥f(4)

，
∵x₁、x₂∈（0，+∞）時

x1-x2

f(x1)-f(x2)

＜0，
∴f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減
∴

-x＞0 3-x＞0 (-x)(3-x)≤4

即

x＜0 x＜3 -1≤x≤4

，
∴-1≤x＜0
∴原不等式的解集為[-1，0）．

點評：本題考查抽象函數(shù)及運用，考查函數(shù)的單調(diào)性和應(yīng)用，注意函數(shù)的定義域，同時考查抽象函數(shù)值的求法：賦值法，屬于中檔題．