Question

9．已知△ABC的外接圓半徑為1，圓心為O，且3$\overrightarrow{OA}$+4$\overrightarrow{OB}$+5$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，則∠AOB的大小是$\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 移項得3$\overrightarrow{OA}$+4$\overrightarrow{OB}$=-5$\overrightarrow{OC}$，兩邊平方即可得出$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0，于是OA⊥OB．

解答 解：∵3$\overrightarrow{OA}$+4$\overrightarrow{OB}$+5$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，∴3$\overrightarrow{OA}$+4$\overrightarrow{OB}$=-5$\overrightarrow{OC}$，
∴9${\overrightarrow{OA}}^{2}$+16${\overrightarrow{OB}}^{2}$+24$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=25${\overrightarrow{OC}}^{2}$，
∵|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OC}$|=1，∴25+24$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=25，∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0，
∴$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，∴∠AOB=$\frac{π}{2}$．
故答案為：$\frac{π}{2}$．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，屬于中檔題．