Question

19．已知函數(shù)f（x）=x-$\frac{a}{x}$的定義域?yàn)椋?，1]（a∈R）．
（1）若a=1，求f（x）的最大值；
（2）若函數(shù)f（x）是定義域上的減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出a=1時(shí)f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得f（x）在（0，1]遞增，即可得到所求最大值；
（2）求出導(dǎo)數(shù)，可得f′（x）≤0在（0，1]恒成立，運(yùn)用參數(shù)分離和二次函數(shù)的最值求法，可得a的范圍．

解答 解：（1）f（x）=x-$\frac{1}{x}$，導(dǎo)數(shù)f′（x）=1+$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，
可得f（x）在（0，1]遞增，
即有f（x）在x=1處取得最大值，且為0；
（2）函數(shù)f（x）=x-$\frac{a}{x}$的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=1+$\frac{a}{{x}^{2}}$，
由題意可得f′（x）≤0在（0，1]恒成立，
即有a≤-x²在（0，1]恒成立，
由-x²在（0，1]遞減，可得-x²在（0，1]的最小值為-1．
即有a≤-1．
則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，-1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用單調(diào)性，考查參數(shù)的取值范圍的求法，注意運(yùn)用不等式恒成立思想，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．