Question

如圖所示，圓臺(tái)上、下底面半徑分別為4，8，母線與底面所成角為45°，平面ABCD為圓臺(tái)的軸截面，E為下底面圓弧上一點(diǎn)，且∠ABE=60°，過(guò)CDE的平面交⊙O₂于點(diǎn)F．
（Ⅰ）求證：EF∥AB；AE⊥O₁F；
（Ⅱ）求平面BCE與底面所成的二面角的正切值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,直線與平面平行的性質(zhì),直線與平面垂直的性質(zhì)

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）證明DC∥AB，DC∥EF，可得EF∥AB；證明AE⊥平面O₁O₂F，可得AE⊥O₁F；
（Ⅱ）設(shè)C在底面上的射影為N，過(guò)N作NM⊥BE，垂足為M，連接CM，則CM⊥BE，∠CMN為平面BCE與底面所成的二面角，求出CN，MN，即可求平面BCE與底面所成的二面角的正切值．

解答： （Ⅰ）證明：∵平面ABCD為圓臺(tái)的軸截面，∴DC∥AB，
∵過(guò)CDE的平面交⊙O₂于點(diǎn)F，
∴DC∥EF，
∴EF∥AB；
∵圓臺(tái)上、下底面半徑分別為4，8，
∴EF=O₂B=4，
∴四邊形O₂FEB是平行四邊形，
∴O₂F∥EB，
∵AE⊥EB，
∴AE⊥O₂F，
∴AE⊥O₁O₂，O₁O₂∩O₂F=O₂，
∴AE⊥平面O₁O₂F，
∴AE⊥O₁F；
（Ⅱ）∵∠ABE=60°，AB=8，∴AE=4

3

，
設(shè)C在底面上的射影為N，過(guò)N作NM⊥BE，垂足為M，連接CM，則CM⊥BE，
∴∠CMN為平面BCE與底面所成的二面角，
∵圓臺(tái)上、下底面半徑分別為4，8，母線與底面所成角為45°，
∴CN=2，
∵AE=4

3

，AE∥MN，
∴MN=

3

，
∴tan∠CMN=

2

3

=

2 3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與直線平行，考查線面垂直，考查二面角的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．