Question

如圖，直角坐標系中，一直角三角形，，B、D在軸上且關于原點對稱，在邊上，BD=3DC，△ABC的周長為12．若一雙曲線以B、C為焦點，且經過A、D兩點．

⑴ 求雙曲線的方程；

⑵ 若一過點（為非零常數(shù)）的直線與雙曲線相交于不同于雙曲線頂點的兩點、，且，問在軸上是否存在定點，使？若存在，求出所有這樣定點的坐標；若不存在，請說明理由

 

Answer 1

【答案】

(1)  (2)在軸上存在定點，使．

【解析】

試題分析：(1) 設雙曲線的方程為，則．

由，得，即．

∴      3分

解之得，∴．

∴雙曲線的方程為． 5分

(2) 設在軸上存在定點，使．

設直線的方程為，．

由，得．

即         ①  6分

∵，，

∴．

即． ②  8分

把①代入②，得  ③  9分

把代入并整理得

其中且，即且．

．   10分

代入③，得，化簡得 ．當時，上式恒成立．

因此，在軸上存在定點，使．  13分

考點：本題主要考查雙曲線的方程，直線與雙曲線的位置關系，平面向量的坐標運算。

點評：難題，曲線關系問題，往往通過聯(lián)立方程組，得到一元二次方程，運用韋達定理。本題（1）求雙曲線方程時，應用了雙曲線的定義及其幾何性質，難度不大，較為典型。（2）則在應用韋達定理的基礎上，通過平面向量的坐標運算，達到證明目的。