Question

19．已知直線y=x與橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的一個交點為P，橢圓的左、右焦點分別為F₁、F₂，且$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，橢圓的離心率為e，則e²=（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{2-\sqrt{2}}{2}$
• D． 2-$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 利用已知條件求出P的坐標(biāo)，代入橢圓方程，化簡求解即可．

解答 解：直線y=x與橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的一個交點為P，橢圓的左、右焦點分別為F₁、F₂，且$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，
不妨設(shè)P（x，x），x＞0可得：$\sqrt{2}x$=c，
則P$（\frac{\sqrt{2}}{2}c，\frac{\sqrt{2}}{2}c）$，代入橢圓方程可得：$\frac{{（\frac{\sqrt{2}}{2}c）}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{（\frac{\sqrt{2}}{2}c）}^{2}}{^{2}}=1$，
即$\frac{1}{2}$e²+$\frac{1}{2}$•$\frac{{c}^{2}}{^{2}}$=1．
即${e}^{2}+\frac{{c}^{2}}{^{2}}=2$
可得${e}^{2}+\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}-{c}^{2}}=2$．
${e}^{2}+\frac{{e}^{2}}{1-{e}^{2}}=2$，
解得：e²=2-$\sqrt{2}$．
故選：D．

點評 本題考查橢圓的離心率的求法，橢圓與向量的關(guān)系，考查計算能力．