Question

11．設(shè)a，b，c為互不相等的正整數(shù)，求證：1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$≤a+$\frac{{2}^{2}}$+$\frac{c}{{3}^{2}}$．（用柯西不等式證明）

Answer 1

分析 由柯西不等式可得（$\frac{1}{\sqrt{a}}•\sqrt{a}$+$\frac{1}{\sqrt}•\frac{\sqrt}{2}$+$\frac{1}{\sqrt{c}}•\frac{\sqrt{c}}{3}$）²≤（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$）（a+$\frac{4}$+$\frac{c}{9}$），結(jié)合等號(hào)成立的條件，即可得證．

解答 證明：由柯西不等式可得
（$\frac{1}{\sqrt{a}}•\sqrt{a}$+$\frac{1}{\sqrt}•\frac{\sqrt}{2}$+$\frac{1}{\sqrt{c}}•\frac{\sqrt{c}}{3}$）²≤（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$）（a+$\frac{4}$+$\frac{c}{9}$），
即為（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$）²≤（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$）（a+$\frac{4}$+$\frac{c}{9}$），
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{1}{{a}^{2}}$=$\frac{4}{^{2}}$=$\frac{9}{{c}^{2}}$，即有a=1，b=2，c=3時(shí)，上式取得等號(hào)．
故不等式1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$≤a+$\frac{{2}^{2}}$+$\frac{c}{{3}^{2}}$成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，主要考查柯西不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．