Question

1．為了保護(hù)一件珍貴文物，博物館需要在一種無色玻璃的密封保護(hù)罩內(nèi)充入保護(hù)氣體．假設(shè)博物館需要支付的總費(fèi)用由兩部分組成：①罩內(nèi)該種氣體的體積比保護(hù)罩的容積少0.5立方米，且每立方米氣體費(fèi)用1千元；②需支付一定的保險(xiǎn)費(fèi)用，且支付的保險(xiǎn)費(fèi)用與保護(hù)罩容積成反比，當(dāng)容積為2立方米時(shí)，支付的保險(xiǎn)費(fèi)用為8千元．
（1）求博物館支付總費(fèi)用y與保護(hù)罩容積V之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求博物館支付總費(fèi)用的最小值；
（3）如果要求保護(hù)罩為正四棱柱形狀，高規(guī)定為2米，當(dāng)博物館需支付的總費(fèi)用不超過9.5千元時(shí)，求保護(hù)罩底面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由需要支付的總費(fèi)用由兩部分組成，當(dāng)容積為2立方米時(shí)，支付的保險(xiǎn)費(fèi)用為8千元，可求比例系數(shù)，從而可求支付總費(fèi)用y與保護(hù)罩容積V之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）由（1）得：y=1000V+$\frac{16000}{V}$-500利用基本不等式可求出當(dāng)且僅當(dāng)1000V=$\frac{16000}{V}$，博物館支付總費(fèi)用的最小值；
（3）由題意得不等式：1000V+$\frac{16000}{V}$-500≤9500，V=2S，代入整理得：S²-5S+4≤0，即可求保護(hù)罩底面積的最大值．

解答 解：（1）依據(jù)題意，當(dāng)保護(hù)罩體積等于V時(shí)，保險(xiǎn)費(fèi)用為$\frac{k}{V}$（其中k為比例系數(shù)，k＞0）
且當(dāng)V=2時(shí)，$\frac{k}{V}$=8000，∴k=16000，…（2分）
∴y=1000（V-0.5）+$\frac{16000}{V}$=1000V+$\frac{16000}{V}$-500（V＞0.5）．（單位：元）…（6分）
（2）y=1000V+$\frac{16000}{V}$-500≥7500
當(dāng)且僅當(dāng)1000V=$\frac{16000}{V}$，即V=4立方米時(shí)不等式取得等號(hào)．
所以，博物館支付總費(fèi)用的最小值為750元．  （10分）
（3）由題意得不等式：1000V+$\frac{16000}{V}$-500≤9500，V=2S，
代入整理得：S²-5S+4≤0，解得1≤S≤4．  …（15分）
所以面正方形的面積最大可取4平方米． …（16分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查利用基本不等式求函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是構(gòu)建函數(shù)，注意基本不等式的使用條件．