Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的圖象過(guò)點(diǎn)（0，1），且函數(shù)f（x）只有一個(gè)零點(diǎn)-1．
（1）求f（x）表達(dá)式；
（2）當(dāng)x∈[-2，k]時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小值；
（3）在區(qū)間[-1，1]上，y=f（x）的圖象恒在y=5x+m的圖象上方，試確定實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題,函數(shù)解析式的求解及常用方法,二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專(zhuān)題：壓軸題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由已知列關(guān)于a，b，c的方程組，求解方程組得到a，b，c的值，則函數(shù)解析式可求；
（2）分k在二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸的兩側(cè)求得函數(shù)f（x）的最小值；
（3）構(gòu)造函數(shù)令g（x）=f（x）-5x-m=x²-3x+1-m，x∈[-1，1]，利用導(dǎo)數(shù)求其最小值，由最小值大于0求得m的取值范圍．

解答： 解：（1）由二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的圖象過(guò)點(diǎn)（0，1），且函數(shù)f（x）只有一個(gè)零點(diǎn)-1，得

f(0)=c=1 - b 2a =-1 f(-1)=a-b+c=0

，解得a=1，b=2，c=1．
∴f（x）=（x+1）²；
（2）當(dāng)x∈[-2，k]時(shí)，若-2≤k＜-1，f(x)min=(k+1)2；
當(dāng)x≥-1時(shí)，f（x）_min=0．
∴f(x)min=

(k+1)2，-2≤k＜-1 0，k≥-1

；
（3）令g（x）=f（x）-5x-m=x²-3x+1-m，x∈[-1，1]，
則g′（x）=2x-3，
當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)g′（x）≤0恒成立，
∴g（x）在[-1，1]上為減函數(shù)，
g（x）_min=1-3+1-m=-1-m，
由-1-m＞0，得m＜-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)解析式的求解及常用方法，考查了二次函數(shù)最值得求法，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法和分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法，是壓軸題．