Question

已知函數(shù)y=（acos²x-3）sinx的最小值為-3，則實數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：令t=sinx，t∈[-1，1]，則函數(shù)令t=sinx，t∈[-1，1]可化為y=-at³+（a-3）t，若函數(shù)y=（acos²x-3）sinx的最小值為-3，則-at³+（a-3）t≥-3，at²+at+t+3≥0，分類討論a的取值上，可得實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：∵函數(shù)y=（acos²x-3）sinx=[a（1-sin²x）-3]sinx=-asin³x+（a-3）sinx，
令t=sinx，t∈[-1，1]，
則y=-at³+（a-3）t，
若函數(shù)y=（acos²x-3）sinx的最小值為-3，
則-at³+（a-3）t≥-3，
即-at³+（a-3）t+3=-（t-1）（at²+at+t+3）≥0，
∵t-1≤0，
∴at²+at+t+3≥0，
①若a＞0，則u=at²+at+3圖象開囗向上，
滿足at²+at+3≥0，函數(shù)圖象與t軸最多只有一個交點，那么判斷式必須小于等于0．
即：a²-12a≤0，
a（a-12）≤0，
因a＞0，所以a-12≤0，
即0＜a≤12；
因t=sinx的值域是[-1，1]，若t在區(qū)間[-1，1]時函數(shù)at²+at+3≥0，則此種情形符合題目要求．
因此只要考慮區(qū)間兩端點的情況即可．
t=-1時，
at²+at+3，
=a-a+3，
=3；
說明a取任意實數(shù)，在[-1，1]區(qū)間左端點處，函數(shù) at²+at+3≥0 成立．
t=1時，
at²+at+3，
=a+a+3，
=2a+3≥0，
則a≥-

3

2

，
即a≥-

3

2

時，在[-1，1]區(qū)間右端點處，函數(shù) at²+at+3≥0 成立．
綜合起來，說明-

3

2

≤a＜0時，能滿足題意．
③a=0時，原題可直接成立．
綜合以上三種情況，可知a∈[-

3

2

，12]，
故答案為：[-

3

2

，12]

點評：本題考查的知識點是三角函數(shù)的最值，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，本題運算量大，綜合性強，轉(zhuǎn)化困難，屬于難題．