Question

對(duì)于函數(shù)f（x）=4^x-m•2^x+1，若存在實(shí)數(shù)x₀，使得f（-x₀）=-f（x₀）成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)已知條件可得到(2-x0+2x0)2-2m(2-x0+2x0)-2=0，所以可想著設(shè)2-x0+2x0=t，t≥2，帶入上式即可得到m=

1

2

t-

1

t

，而根據(jù)單調(diào)性的定義即可判斷出函數(shù)

1

2

t-

1

t

在[2，+∞）上是增函數(shù)，求其值域從而得到m≥

1

2

．

解答： 解：由f（-x₀）=-f（x₀）得：4-x0-m•2-x0=-(4x0-m•2x0+1)；
可整理成(2-x0+2x0)2-2m(2-x0+2x0)-2=0；
設(shè)2-x0+2x0=t，t≥2；
∴t²-2mt-2=0；
∴m=

1

2

t-

1

t

，根據(jù)單調(diào)性的定義可知該函數(shù)在[2，+∞）上是增函數(shù)；
∴m≥

1

2

；
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是[

1

2

，+∞）．
故答案為：[

1

2

，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：考查完全平方式的運(yùn)用，換元解決問題的辦法，基本不等式的運(yùn)用，根據(jù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)的單調(diào)性，也可對(duì)函數(shù)

1

2

t-

1

t

求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷其單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)的值域．