已知函數(shù)f（x）=ln（x+1）-
ax
x+1
，曲線y=f（x）在x=1處的切線與直線4x+y=0垂直，求實數(shù)a的值，并證明x＞0時，f（x）＞0．
考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程
專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析：求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和切線的斜率，由兩直線垂直的條件可得a的方程，解得a=1，通過函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，判斷x＞0時導(dǎo)數(shù)的符號，得到單調(diào)性，即可證得f（x）＞f（0）=0．
解答： 解：函數(shù)f（x）=ln（x+1）-
ax
x+1
的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=
1
x+1
-
a
(x+1)2
，
曲線y=f（x）在x=1處的切線斜率為f′（1）=
1
2
-
a
4
，
由于切線與直線4x+y=0垂直，則（
1
2
-
a
4
）•（-4）=-1，
解得a=1．
證明：f（x）=ln（x+1）-
x
x+1
的導(dǎo)數(shù)為
f′（x）=
1
x+1
-
1
(x+1)2
=
x
(x+1)2
，
由于x＞0，則f′（x）＞0，f（x）遞增，
即有f（x）＞f（0）=0．
點評：本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間，同時考查兩直線垂直的條件，運用函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=
2
a，點E是PD的中點．
（1）求證：PA⊥平面ABCD
（2）求EC與平面ABCD所成的角．

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已知1≤x2+y2≤2，求證：
1
2
≤x2-xy+y2≤3．

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求函數(shù)y=sin|x|的單調(diào)區(qū)間．

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校足球隊假期集訓(xùn)，集訓(xùn)前共有6個足球，其中3個是新球（即沒有用過的球），3 個是舊球（即至少用過一次的球）．每次訓(xùn)練都從中任意取出2個球，用完后放回．
（1）設(shè)第二次訓(xùn)練后新球的個數(shù)至少為2的概率；
（2）若第一次訓(xùn)練恰取出一個新球，求第三次訓(xùn)練后新球的個數(shù)為ξ，求隨機變量ξ的分布列并求出其期望Eξ

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

將“函數(shù)f（x）=4x2-2（p-2）x-2p2-p+1在區(qū)間[-1，1]上至少存在一個實數(shù)c，使f（c）＞0”反設(shè)，所得命題為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，設(shè)數(shù)列{bn}滿足bn=2（Sn+1-Sn）Sn-n（Sn+1+Sn）（n∈N*）．
（1）若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且bn=0，求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）若a1=1，a2=3，且數(shù)列{a2n-1}的，{a2n}都是以2為公比的等比數(shù)列，求滿足不等式b2n＜b2n-1的所有正整數(shù)的n集合．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對于函數(shù)f（x）=4x-m•2x+1，若存在實數(shù)x0，使得f（-x0）=-f（x0）成立，則實數(shù)m的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1
2
x2+alnx，g（x）=（a+1）x，a≠-1．
（1）若函數(shù)f（x）在點（2，f（2））處的切線斜率為
1
2
，求f（x）的極值；
（2）若a∈（1，e]，F(xiàn)（x）=f（x）-g（x），求證：當(dāng)x1，x2∈[1，a]時，|F（x1）-F（x2）|＜1恒成立．

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