Question

1．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=2-$\frac{1}{{a}_{n}}$，n=1，2，3，4…
（1）求證：數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}-1}$}為等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 （1）把a(bǔ)_n+1=2-$\frac{1}{{a}_{n}}$，代入$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$計算為常數(shù)即可；
（2）由（1）利用等差數(shù)列的通項公式即可得出．

解答 （1）證明：∵a_n+1=2-$\frac{1}{{a}_{n}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{1}{2-\frac{1}{{a}_{n}}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=1，
$\frac{1}{{a}_{1}-1}$=1，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}-1}$}為等差數(shù)列，首項與公差都為1；
（2）解：由（1）可得：$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=1+（n-1）=n，
∴a_n=1+$\frac{1}{n}$=$\frac{n+1}{n}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式、遞推關(guān)系的應(yīng)用，考查了變形能力、推理能力與計算能力，屬于中檔題．