Question

10．已知f（x）是奇函數(shù)，當x＜0時，f（x）=x²+3x+2．
（1）求x∈R時，函數(shù)f（x）的解析式；
（2）寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間（不要求證明）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，求出f（x）在x＞0與x=0時的解析式即可；
（2）根據(jù)函數(shù)的解析式，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，寫出它的單調(diào)遞增區(qū)間即可．

解答 解：（1）∵f（x）是奇函數(shù)，當x＜0時，f（x）=x²+3x+2．
∴當x＞0時，-x＜0，
∴f（-x）=（-x）²+3（-x）+2=x²-3x+2；
又f（x）是奇函數(shù)，
∴當x＞0時，f（x）=-f（-x）=-x²+3x-2；
當x=0時，f（0）=-f（0），
∴f（0）=0；
∴x∈R時，函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+3x+2，x＜0}\\{0，x=0}\\{{-x}^{2}+3x-2，x＞0}\end{array}\right.$；
（2）x＜0時，f（x）=x²+3x+2，
∴當-$\frac{3}{2}$≤x＜0時，f（x）是增函數(shù)；
x＞0時，f（x）=-x²+3x-2，
∴當0＜x≤$\frac{3}{2}$時，f（x）是增函數(shù)；
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[-$\frac{3}{2}$，0）和（0，$\frac{3}{2}$]．

點評 本題考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的應(yīng)用問題，也考查了求函數(shù)解析式的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．