Question

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）若為的極值點(diǎn)，求的值；

（Ⅱ）若在單調(diào)遞增，求的取值范圍．

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根，求的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）0；（Ⅱ） ；（Ⅲ）0．

【解析】試題分析：

(Ⅰ)求導(dǎo)可得，結(jié)合題意可知，據(jù)此可得，經(jīng)驗(yàn)證滿足題意，即的值為0；

(Ⅱ) 在單調(diào)遞增，則在區(qū)間上恒成立，分類討論：①當(dāng)時(shí)，符合題意；②當(dāng)時(shí)，由的定義域可知： ，若，不滿足條件，則，討論可得，綜上所述， 的取值范圍為；

(Ⅲ)當(dāng)時(shí)，方程轉(zhuǎn)化成 ，

令，構(gòu)造函數(shù)， ， 在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；結(jié)合題意計(jì)算可得的最大值為0．

試題解析：

（Ⅰ），求導(dǎo)， ，

由為的極值點(diǎn)，則，即，解得： ，

當(dāng)時(shí)， ，

從而為函數(shù)的極值點(diǎn)，成立，

∴的值為0；

（Ⅱ）在單調(diào)遞增，則 ，

則在區(qū)間上恒成立，

①當(dāng)時(shí)， 在區(qū)間上恒成立，

∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，故符合題意；

②當(dāng)時(shí)，由的定義域可知： ，

若，則不滿足條件在區(qū)間上恒成立，

則，

則，對(duì)區(qū)間上恒成立，

令，其對(duì)稱軸為，

由，則，

從而在區(qū)間上恒成立，

只需要即可，

由，解得： ，

由，則，

綜上所述， 的取值范圍為；

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，方程，轉(zhuǎn)化成，

即 ，令，

則在上有解，

令， ，

求導(dǎo)，

當(dāng)時(shí)， ，故在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)， ，故在上單調(diào)遞減；

在上的最大值為，

此時(shí)， ，

當(dāng)時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根，則的最大值為0．