【題目】如圖,ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形,DE⊥平面ABCD,AF∥DE,DE=3AF,BE與平面ABCD所成角為60°.
(Ⅰ)求證:AC⊥平面BDE;
(Ⅱ)求二面角F﹣BE﹣D的余弦值.
【答案】(1)見解析(2)
【解析】試題分析:(Ⅰ)因?yàn)?/span>DE⊥平面ABCD,所以DE⊥AC.因?yàn)?/span>ABCD是正方形,所以AC⊥BD,從而AC⊥平面BDE;(Ⅱ)建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,分別求出平面BEF的法向量為和平面BDE的法向量,利用向量法能求出二面角的余弦值
試題解析:(1)證明:因?yàn)?/span>DE⊥平面ABCD,AC平面ABCD,所以DE⊥AC. 因?yàn)?/span>ABCD是正方形,所以AC⊥BD.
又BD,DE相交且都在平面BDE內(nèi),從而AC⊥平面BDE.
(2)因?yàn)?/span>DA,DC,DE兩兩垂直,所以建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz,如圖所示.
因?yàn)?/span>DE⊥平面ABCD,所以BE與平面ABCD所成角就是∠DBE.已知BE與平面ABCD所成角為60°,所以∠DBE=60°,所以
由AD=3可知DE=3,AF=.
由A(3,0,0),F(3,0, ),E(0,0,3),B(3,3,0),C(0,3,0),
得=(0,-3, ),=(3,0,-2).設(shè)平面BEF的法向量為n=(x,y,z),
則即令z=,則n=(4,2, ).
因?yàn)?/span>AC⊥平面BDE,所以為平面BDE的法向量m=(3,-3,0),
所以cos〈n,m〉==.
因?yàn)槎娼菫殇J角,所以二面角FBED的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況,繪制了一年中各月平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達(dá)圖.圖中A點(diǎn)表示十月的平均最高氣溫約為15℃,B點(diǎn)表示四月的平均最低氣溫約為5℃.下面敘述不正確的是 ( )
A. 各月的平均最低氣溫都在0℃以上
B. 七月的平均溫差比一月的平均溫差大
C. 三月和十一月的平均最高氣溫基本相同
D. 平均最高氣溫高于20℃的月份有5個(gè)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著醫(yī)院對(duì)看病掛號(hào)的改革,網(wǎng)上預(yù)約成為了當(dāng)前最熱門的就診方式,這解決了看病期間病人插隊(duì)以及醫(yī)生先治療熟悉病人等諸多問題;某醫(yī)院研究人員對(duì)其所在地區(qū)年齡在10~60歲間的位市民對(duì)網(wǎng)上預(yù)約掛號(hào)的了解情況作出調(diào)查,并將被調(diào)查的人員的年齡情況繪制成頻率分布直方圖,如下圖所示.
(Ⅰ)若被調(diào)查的人員年齡在20~30歲間的市民有300人,求被調(diào)查人員的年齡在40歲以上(含40歲)的市民人數(shù);
(Ⅱ)若按分層抽樣的方法從年齡在以內(nèi)及以內(nèi)的市民中隨機(jī)抽取5人,再?gòu)倪@5人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行調(diào)研,求抽取的2人中,至多1人年齡在內(nèi)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)若為的極值點(diǎn),求的值;
(Ⅱ)若在單調(diào)遞增,求的取值范圍.
(Ⅲ)當(dāng)時(shí),方程有實(shí)數(shù)根,求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“雙十一”期間,某淘寶店主對(duì)其商品的上架時(shí)間(分鐘)和銷售量(件)的關(guān)系作了統(tǒng)計(jì),得到如下數(shù)據(jù):
經(jīng)計(jì)算: , , , .
(1)從滿足的數(shù)據(jù)中任取兩個(gè),求所得兩個(gè)數(shù)據(jù)都滿足的概率;
(2)該店主通過作散點(diǎn)圖,發(fā)現(xiàn)上架時(shí)間與銷售量線性相關(guān),請(qǐng)你幫助店主求出上架時(shí)間與銷售量的線性回歸方程(保留三位小數(shù)),并預(yù)測(cè)商品上架1000分鐘時(shí)的銷售量.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)
(1)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)當(dāng)時(shí),記,是否存在整數(shù),使得關(guān)于的不等式有解?若存在,請(qǐng)求出的最小值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知一個(gè)動(dòng)圓與兩個(gè)定圓和均相切,其圓心的軌跡為曲線C.
(1) 求曲線C的方程;
(2) 過點(diǎn)F()做兩條可相垂直的直線,設(shè)與曲線C交于A,B兩點(diǎn), 與曲線 C交于C,D兩點(diǎn),線段AC,BD分別與直線交于M,M,N兩點(diǎn)。求證|MF|:|NF|為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知橢圓的左頂點(diǎn),且點(diǎn)在橢圓上, 分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)。過點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于另一點(diǎn),直線交橢圓于點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若為等腰三角形,求點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)若,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知a,b分別是△ABC內(nèi)角A,B的對(duì)邊,且bsin2A=acos Asin B,函數(shù)f(x)=sin Acos2x-sin2sin 2x,x∈.
(1)求A;
(2)求函數(shù)f(x)的值域.
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