Question

10．已知奇函數(shù)f（x）為定義域在R上的可導(dǎo)函數(shù)，f（1）=0，當x＞0時，xf′（x）-f（x）＜0，則x²f（x）＞0的解集是（　　）

• A． （-∞，-1）∪（1，+∞）
• B． （-∞，-1）∪（0，1）
• C． （-1，0）∪（0，1）
• D． （-1，0）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)可以判斷g（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減；再由f（1）=0，易得f（x）在（0，+∞）內(nèi)的正負性；最后結(jié)合奇函數(shù)的圖象特征，可得f（x）在（-∞，0）內(nèi)的正負性．則x²f（x）＞0?f（x）＞0的解集即可求得．

解答 解：設(shè)g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，
∴g′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$，
∵當x＞0時，xf′（x）-f（x）＜0，
∴當x＞0時，g′（x）＜0，
∴g（x）在（0，+∞）為減函數(shù)，
∵f（1）=0，∴g（1）=0
∴當x∈（0，1）時，g（x）=$\frac{f（x）}{x}$＞0，∴f（x）＞0；
當x∈（1，+∞）時，g（x）=$\frac{f（x）}{x}$＜0．∴f（x）＜0．
又∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴當x∈（-1，0）時，f（x）＜0；
當x∈（-∞，-1）時，f（x）＞0．
又不等式x²f（x）＞0的解集，即不等式f（x）＞0的解集．
∴x²f（x）＞0的解集是（-∞，-1）∪（0，1）．
故選：B

點評 本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的應(yīng)用．在判斷函數(shù)的單調(diào)性時，常可利用導(dǎo)函數(shù)來判斷．