分析 (1)利用誘導(dǎo)公式及二倍角的余弦公式對式子化簡,代入即可得到所求值;
(2)運用余弦定理和面積公式,結(jié)合基本不等式,即可得到最大值.
解答 解:(1)sin2$\frac{B+C}{2}$+cos2A=sin2$\frac{π-A}{2}$+2cos2A-1
=cos2$\frac{A}{2}$+2cos2A-1=$\frac{1+cosA}{2}$+2cos2A-1
=$\frac{1+\frac{1}{3}}{2}$+2×$\frac{1}{9}$-1=-$\frac{1}{9}$;
(2)cosA=$\frac{1}{3}$,可得sinA=$\sqrt{1-\frac{1}{9}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$,
由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-$\frac{2}{3}$bc
≥2bc--$\frac{2}{3}$bc=$\frac{4}{3}$bc,
即有bc≤$\frac{3}{4}$a2=$\frac{9}{4}$,當且僅當b=c=$\frac{3}{2}$,取得等號.
則△ABC面積為$\frac{1}{2}$bcsinA≤$\frac{1}{2}$×$\frac{9}{4}$×$\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$.
即有b=c=$\frac{3}{2}$時,△ABC的面積取得最大值$\frac{3\sqrt{2}}{4}$.
點評 本題考查三角函數(shù)的化簡和求值,注意運用誘導(dǎo)公式和二倍角公式,考查三角形的余弦定理和面積公式,以及基本不等式的運用,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | (-∞,-1)∪(1,+∞) | B. | (-∞,-1)∪(0,1) | C. | (-1,0)∪(0,1) | D. | (-1,0)∪(1,+∞) |
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A. | $\sqrt{2}$ | B. | $\sqrt{3}$ | C. | $\sqrt{5}$ | D. | 2$\sqrt{2}$ |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$ | B. | $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$ | C. | $\frac{{\sqrt{6}}}{3}$ | D. | $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$ |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | {x|x<-$\frac{2}{3}$或x>$\frac{3}{2}$} | B. | {x|x<$\frac{2}{3}$或x>$\frac{3}{2}$} | C. | {x|-$\frac{2}{3}$<x<$\frac{3}{2}$} | D. | {x|$\frac{2}{3}$<x<$\frac{3}{2}$} |
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