Question

19．已知直線y=ax+b與曲線y=e^x相切，則ab的最大值是（　　）

• A． $\frac{e}{2}$
• B． e
• C． $\frac{\sqrt{e}}{2}$
• D． $\sqrt{e}$

Answer 1

分析 設(shè)直線y=ax+b與曲線y=e^x相切于M（m，e^m），求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由切點(diǎn)在直線上，可得ab=a²（1-lna），由f（a）=a²（1-lna），求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得極大值，且為最大值．

解答 解：設(shè)直線y=ax+b與曲線y=e^x相切于M（m，e^m），
由y=e^x導(dǎo)數(shù)為y′=e^x，
可得切線的斜率為e^m=a，即m=lna，
又am+b=e^m，可得b=e^m-me^m=a（1-lna），
ab=a²（1-lna），由f（a）=a²（1-lna），
f′（a）=a（1-2lna），a＞0，
當(dāng)x＞$\sqrt{e}$時(shí)，f′（a）＜0，f（a）遞減；
當(dāng)0＜x＜$\sqrt{e}$時(shí)，f′（a）＞0，f（a）遞增．
即有f（a）在x=$\sqrt{e}$處取得極大值，且為最大值$\frac{1}{2}$e．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查構(gòu)造函數(shù)和化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．