Question

7．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足S_n=2a_n-n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足4${\;}^{_{′}-1}$4${\;}^{_{2}-1}$…4${\;}^{_{n}-1}$=（a_n+1）${\;}^{_{n}}$（n∈N），求證：{b_n}是等差數(shù)列；
（3）求證：1007$\frac{2}{3}$＜$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$+$\frac{{a}_{2}}{{a}_{3}}$+…+$\frac{{a}_{2016}}{{a}_{2017}}$＜1008．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)對(duì)S_n=2a_n-n，由n=1可得首項(xiàng)，n＞1，運(yùn)用a_n=S_n-S_n-1，得到a_n=2a_n-1+1變形可得a_n+1=2（a_n-1+1），進(jìn)而可得a_n+1=2ⁿ，從而可得結(jié)論；
（2）通過(guò)同底指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，可得4（b1+b2+…+bn）-n=（2n）bn，兩邊取對(duì)數(shù)得2[b₁+b₂+…+b_n-n]=nb_n，進(jìn)而2[b₁+b₂+…+b_n+1-（n+1）]=（n+1）b_n+1，兩式相減并整理得：（n-1）b_n+1-nb_n+2=0，進(jìn)而nb_n+2-（n+1）b_n+1+2=0，再兩式相減即得結(jié)論；
（3）通過(guò)$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n+1}-1}$的前4項(xiàng)的和，以及后面的項(xiàng)和關(guān)系，以及$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n+1}-1}$＜$\frac{1}{2}$，累加即可得證．

解答 （1）解：由S_n=2a_n-n，可得：
a₁=S₁=2a₁-1，解得a₁=1；
當(dāng)n＞1時(shí)，S_n-1=2a_n-1-（n-1），
兩式相減可得，a_n=2a_n-2a_n-1-1，
即為a_n=2a_n-1+1，
即a_n+1=2（a_n-1+1），
∴數(shù)列{a_n+1}是公比為2的等比數(shù)列，
又∵a₁=1，∴1+a₁=2，
∴a_n+1=2ⁿ，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=2ⁿ-1；
（2）證明：∵4^b₁-1•4^b₂-1•4^b₃-1…4^b_n-1=（a_n+1）^b_n，
∴4^{（b₁+b₂+…+b_n）-n}=（2ⁿ）^b_n，
兩邊取對(duì)數(shù)，得：log₂4^{（b₁+b₂+…+b_n）-n}=log₂（2ⁿ）^b_n，
∴2（b₁+b₂+…+b_n）-2n=nb_n，
即2[b₁+b₂+…+b_n-n]=nb_n，
2[b₁+b₂+…+b_n+1-（n+1）]=（n+1）b_n+1，
兩式相減得：b_n+1-1=$\frac{n+1}{2}$b_n+1-$\frac{n}{2}$b_n，
整理得：（n-1）b_n+1-nb_n+2=0，
∴nb_n+2-（n+1）b_n+1+2=0，
兩式相減得：nb_n+2-2nb_n+1+nb_n=0，
∴b_n+2-2b_n+1+b_n=0，
即b_n+2+b_n=2b_n+1，
∴數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（3）證明：由1.7＜$\frac{1}{3}$+$\frac{3}{7}$+$\frac{7}{15}$+$\frac{15}{31}$＜1.712，
而$\frac{31}{63}$，$\frac{63}{127}$，…，$\frac{{2}^{2016}-1}{{2}^{2017}-1}$與$\frac{1}{2}$非常接近，
其和非常接近1006，
即有$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$+$\frac{{a}_{2}}{{a}_{3}}$+…+$\frac{{a}_{2016}}{{a}_{2017}}$＞1007$\frac{2}{3}$；
由$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n+1}-1}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{{2}^{n+1}-2-{2}^{n+1}+1}{2（{2}^{n+1}-1）}$
=-$\frac{1}{2（{2}^{n+1}-1）}$＜0，即有$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n+1}-1}$＜$\frac{1}{2}$，
即有$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$+$\frac{{a}_{2}}{{a}_{3}}$+…+$\frac{{a}_{2016}}{{a}_{2017}}$＜$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$+…+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$•2016=1008．
綜上可得1007$\frac{2}{3}$＜$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$+$\frac{{a}_{2}}{{a}_{3}}$+…+$\frac{{a}_{2016}}{{a}_{2017}}$＜1008．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用數(shù)列的遞推公式構(gòu)造等比數(shù)列求解通項(xiàng)公式，利用數(shù)列的遞推公式轉(zhuǎn)化數(shù)列的和與項(xiàng)之間的關(guān)系，裂項(xiàng)求解數(shù)列的和的應(yīng)用，以及數(shù)列不等式的證明，注意運(yùn)用放縮法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．