Question

4．已知數(shù)列{a_n}為公差不為零的等差數(shù)列，S₆=60，且滿足$a_6^2={a_1}•{a_{21}}$．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足${b_{n+1}}-{b_n}={a_n}（n∈{N^*}）$，且b₁=3，求數(shù)列$\{\frac{1}{b_n}\}$的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）通過設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，利用S₆=60、$a_6^2={a_1}•{a_{21}}$計算可知首項、公差，進(jìn)而可得結(jié)論；
（2）通過b_n+1-b_n=a_n可知b_n-b_n-1=a_n-1（n≥2，n∈N^*），利用b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁計算可知當(dāng)n≥2時b_n=n（n+2），驗證b₁=3也適合，裂項可知$\frac{1}{_{n}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），進(jìn)而并項相加即得結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，則$\left\{\begin{array}{l}6{a_1}+15d=60\\{a_1}（{a_1}+20d）={（{a_1}+5d）^2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=5}\\{d=2}\end{array}\right.$，
∴a_n=2n+3；
（2）由b_n+1-b_n=a_n，∴b_n-b_n-1=a_n-1（n≥2，n∈N^*），
當(dāng)n≥2時，b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=a_n-1+a_n-2+…+a₁+b₁
=（n-1）（n-2+5）+3
=n（n+2），
又∵b₁=3也適合，
∴b_n=n（n+2），$\frac{1}{_{n}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
∴${T_n}=\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）=\frac{1}{2}（\frac{3}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）=\frac{{3{n^2}+5n}}{4（n+1）（n+2）}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查裂項相消法，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．