Question

19．在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線l上兩點(diǎn)M、N的極坐標(biāo)分別為（6，$\frac{π}{3}$）、（2，$\frac{π}{3}$），圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3+3cosθ}\\{y=-\sqrt{3}+3sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）．
（1）設(shè)P為線段M、N的中點(diǎn)，求點(diǎn)P的直角坐標(biāo)；
（2）判斷線段MN的垂直平分線l′與圓C的位置關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$把兩點(diǎn)M、N的極坐標(biāo)分別化為直角坐標(biāo)：$（3，3\sqrt{3}）$，$（1，\sqrt{3}）$．利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得線段MN的中點(diǎn)P坐標(biāo)．
（2）圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3+3cosθ}\\{y=-\sqrt{3}+3sinθ}\end{array}\right.$化為$（x-3）^{2}+（y+\sqrt{3}）^{2}$=9．可得圓心半徑．利用k_MN•${k}_{{l}^{′}}$=-1．可得線段MN的垂直平分線l′方程．利用點(diǎn)到直線的距離公式可得：圓心C$（3，-\sqrt{3}）$到直線l′的距離d，與r比較即可得出．

解答 解：（1）兩點(diǎn)M、N的極坐標(biāo)分別為（6，$\frac{π}{3}$）、（2，$\frac{π}{3}$），
化為直角坐標(biāo)：$（3，3\sqrt{3}）$，$（1，\sqrt{3}）$．
∴線段MN的中點(diǎn)P$（2，2\sqrt{3}）$．
（2）圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3+3cosθ}\\{y=-\sqrt{3}+3sinθ}\end{array}\right.$化為$（x-3）^{2}+（y+\sqrt{3}）^{2}$=9．
k_MN=$\frac{3\sqrt{3}-\sqrt{3}}{3-1}$=$\sqrt{3}$．
${k}_{{l}^{′}}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
線段MN的垂直平分線l′為：$y-2\sqrt{3}=-\frac{\sqrt{3}}{3}（x-2）$，化為x+$\sqrt{3}$y-8=0．
∴圓心C$（3，-\sqrt{3}）$到直線l′的距離d=$\frac{|3-3-8|}{2}$=4＞r=3．
∴線段MN的垂直平分線l′與圓C的位置關(guān)系是相離．

點(diǎn)評 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、圓的參數(shù)方程、點(diǎn)到直線的距離公式、直線與圓的位置公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．