Question

18．在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，AB=$\frac{1}{2}$CD=1，BP=BC=$\sqrt{2}$，PC=2，AB⊥平面PBC，F(xiàn)為PC的中點(diǎn)．
（1）求證：BF∥平面PAD；
（2）求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

分析 （1）取PD的中點(diǎn)E，連接EF，證明四邊形ABEF為平行四邊行，可得BF∥AE，利用線面平行的判定定理，即可證明BF∥平面PAD；
（2）證明PB⊥平面 ABCD，利用V_P-ABCD=$\frac{1}{3}$S_{四邊形ABCD}•PB，即可求四棱錐P-ABCD的體積．

解答 （1）證明：取PD的中點(diǎn)E，連接EF，
∵F為PC的中點(diǎn)，∴EF為△PDC的中位線，
即EF∥CD且EF=$\frac{1}{2}$CD，
又∵AB∥CD，AB=$\frac{1}{2}$CD，∴AB∥EF，AB=EF，
∴四邊形ABEF為平行四邊行，
∴BF∥AE，
又∵AE?平面PAD，BF?平面PAD，
∴BF∥平面PAD，
（2）解：∵AB⊥平面PBC，AB?平面ABCD，
∴平面ABCD⊥平面 PBC，
∵PB²+BC²=（$\sqrt{2}$）²+（$\sqrt{2}$）²=4=PC²，
∴PB⊥BC，
而平面ABCD∩平面PBC=BC，
∴PB⊥平面 ABCD，
∴V_P-ABCD=$\frac{1}{3}$S_{四邊形ABCD}•PB=$\frac{1}{3}$×（1+2）×$\sqrt{2}$×$\frac{1}{2}×\sqrt{2}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線和平面平行、垂直的判定定理的應(yīng)用，求錐體的體積，屬于中檔題．