設函數(shù)f（x）=alnx+
b
x
-2a，若對于任意的a∈（1，4），x∈（0，+∞）總有f（x）＞0，則最小的正整數(shù)b=
 
．
考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用
專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用
分析：求導數(shù)，確定函數(shù)的單調性，可得f（x）≥（
b
a
）=a[ln（
b
a
）-1]＞0，即可求出最小的正整數(shù)
解答： 解：∵f（x）=alnx+
b
x
-2a，
∴f′（x）=
ax-b
x2
，a屬于（1，4）
x＞
b
a
時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增；x＜
b
a
時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減
所以f（x）≥（
b
a
）=a[ln（
b
a
）-1]＞0，
∴l(xiāng)n（＜
b
a
）-1＞0，
∴l(xiāng)n（＜
b
a
）＞1，
∴
b
a
＞e，
∴b＞ae，∴b≥4e
∴最小的正整數(shù)b=11．
故答案為：11．
點評：本題考查導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知
1-tanθ
2+tanθ
=1，求證：tan2θ=-4tan（θ+
π
4
）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

下列各對函數(shù)中，是相等函數(shù)的序號是
 
．
①f（x）=x+1與g（x）=x+x0
②f（x）=
(2x+1)2
與g（x）=|2x+1|
③f（n）=2n+1（n∈Z）與g（n）=2n-1（n∈Z）
④f（x）=3x+2與g（t）=3t+2．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

過原點且傾斜角為45°的直線被圓x2+y2-4y=0所截得的弦長為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若在4次獨立重復試驗中，事件A至少發(fā)生一次的概率為
80
81
，那么事件A在一次試驗中發(fā)生的概率為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如果復數(shù)z滿足|z|=1，那么|z-3+2i|的最大值是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

經過點O（0，0）作曲線y=lnx的切線的斜率是
 
，切線的方程為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

中學數(shù)學中存在許多關系，比如“相等關系”、“平行關系”等等，如果集合A中元素之間的一個關系“～”滿
足以下三個條件：
（1）自反性：對于任意a∈A，都有a～a；
（2）對稱性：對于a，b∈A，若a～b，則有b～a；
（3）傳遞性：對于a，b，c∈A，若a～b，b～c則有a～c
則稱“～”是集合A的一個等價關系，例如：“數(shù)的相等”是等價關系，而“直線的平行”不是等價關系（自反性不成立），請你再列出三個等價關系：
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知集合A={x|x＜1}，集合B={x|x＜-1}，則A∩B=
 
，A∪B=
 
．

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