Question

17．已知點F₁，F(xiàn)₂分別為雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的左，右焦點，點P為雙曲線右支上的任意一點，則$\frac{|P{F}_{1}{|}^{2}}{|P{F}_{2}|}$的最小值為（　�。�

• A． 8
• B． 5
• C． 4
• D． 9

Answer 1

分析 設(shè)P（x，y）（x≥1），則$\frac{|P{F}_{1}{|}^{2}}{|P{F}_{2}|}$=$\frac{（x+2）^{2}+{y}^{2}}{\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}}$=$\frac{4{x}^{2}+4x+1}{2x-1}$，利用換元法，結(jié)合基本不等式，即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)P（x，y）（x≥1），則$\frac{|P{F}_{1}{|}^{2}}{|P{F}_{2}|}$=$\frac{（x+2）^{2}+{y}^{2}}{\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}}$=$\frac{4{x}^{2}+4x+1}{2x-1}$
設(shè)t=2x-1（t≥1），$\frac{|P{F}_{1}{|}^{2}}{|P{F}_{2}|}$=t+$\frac{4}{t}$+4≥4+4=8，
當(dāng)且僅當(dāng)t=2時，$\frac{|P{F}_{1}{|}^{2}}{|P{F}_{2}|}$的最小值為8，
故選：A．

點評 本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查換元法、基本不等式的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．