Question

14．已知f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx-sin²x，把f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{12}$個單位，再向上平移2個單位，得到y(tǒng)=g（x）的圖象，若對任意實數(shù)x，都有g（α-x）=g（α+x）成立，則g（α+$\frac{π}{4}$）+g（$\frac{π}{4}$）=（　�。�

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． $\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 由條件利用三角函數(shù)的恒等變換求得g（x）的解析式，再根據(jù)題意可得g（x）的圖象關于直線x=α對稱，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象的對稱性求得α的值，可得g（α+$\frac{π}{4}$）+g（$\frac{π}{4}$）的值．

解答 解：∵f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx-sin²x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1-cos2x}{2}$=sin（2x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$，
把f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{12}$個單位，可得函數(shù)y=sin[2（x-$\frac{π}{12}$）+$\frac{π}{6}$]-$\frac{1}{2}$=sin2x-$\frac{1}{2}$的圖象；
再把所得圖象向上平移2個單位，得到y(tǒng)=g（x）=sin2x-$\frac{1}{2}$+2=sin2x+$\frac{3}{2}$的圖象．
若對任意實數(shù)x，都有g（α-x）=g（α+x）成立，則g（x）的圖象關于直線x=α對稱，
∴2α=kπ+$\frac{π}{2}$，求得α=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{4}$，k∈z，故可取α=$\frac{π}{4}$，
∴g（α+$\frac{π}{4}$）+g（$\frac{π}{4}$）=sin（$\frac{π}{2}$+$\frac{π}{2}$）+$\frac{3}{2}$+sin$\frac{π}{2}$+$\frac{3}{2}$=4，
故選：A．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，正弦函數(shù)的圖象的對稱性，屬于基礎題．