Question

在極坐標(biāo)系中，求曲線ρ=2cosθ關(guān)于直線θ=

π

4

（ρ∈R）對(duì)稱的曲線的極坐標(biāo)方程．

Answer 1

考點(diǎn)：簡單曲線的極坐標(biāo)方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：解法一：將極坐標(biāo)系下的方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，進(jìn)一步運(yùn)算過后再將計(jì)算結(jié)果表示成極坐標(biāo)方程．
解法二：在極坐標(biāo)下，設(shè)曲線ρ=2cosθ上任意一點(diǎn)為（ρ′，θ′），其關(guān)于直線θ=

π

4

對(duì)稱點(diǎn)為（ρ，θ），則

ρ′=ρ θ′=2kπ+ π 2 -θ

，再代入到ρ′=2cosθ′計(jì)算即可．

解答： 解法一：以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸建立直角坐標(biāo)系，
則曲線ρ=2cosθ的直角坐標(biāo)方程為（x-1）²+y²=1，且圓心C為（1，0）．
直線θ=

π

4

的直角坐標(biāo)方程為y=x，
因?yàn)閳A心C（1，0）關(guān)于y=x的對(duì)稱點(diǎn)為（0，1），
所以圓心C關(guān)于y=x的對(duì)稱曲線為x²+（y-1）²=1，
所以曲線ρ=2cosθ關(guān)于直線θ=

π

4

（ρ∈R）對(duì)稱的曲線的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ．
解法二：設(shè)曲線ρ=2cosθ上任意一點(diǎn)為（ρ′，θ′），其關(guān)于直線θ=

π

4

對(duì)稱點(diǎn)為（ρ，θ）
則

ρ′=ρ θ′=2kπ+ π 2 -θ

，
將（ρ′，θ′），代入（ρ′，θ′），得ρ=2cos(

π

2

-θ)，即ρ=2sinθ，
所以曲線ρ=2cosθ關(guān)于直線θ=

π

4

對(duì)稱的曲線的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ．

點(diǎn)評(píng)：和極坐標(biāo)相關(guān)的題目可以直接用極坐標(biāo)的知識(shí)處理，也可以根據(jù)極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)下的運(yùn)算，學(xué)生可以根據(jù)自己的思維方式選擇適合的解決方法．