Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2acos（k+1）π•lnx（k∈N^*，a∈R且a＞0）．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若k=2015，方程f （x）=2a x有惟一解時(shí)，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的零點(diǎn),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)數(shù)，通過(guò)k是偶數(shù)時(shí)，k是奇數(shù)時(shí)，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，推出函數(shù)的單調(diào)性即可．（2）通過(guò)k=2015，化簡(jiǎn)f（x）=x²-2alnx（k∈N^*），構(gòu)造g（x）=x²-2axlnx-2ax，求出導(dǎo)數(shù)，通過(guò)f（x）=2ax有唯一解，轉(zhuǎn)化為g（x）=0有唯一解；通過(guò)求解導(dǎo)數(shù)函數(shù)的極值單調(diào)性，然后判斷求解a的值．

解答： （理科）解：（1）由已知得，x＞0且f′(x)=2x-(-1)k+1•

2a

x

．
當(dāng)k是偶數(shù)時(shí)，則f′（x）＞0，則f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
當(dāng)k是奇數(shù)時(shí)，則 f′(x)=2x-

2a

x

=

2(x+ a )(x- a )

x

，
所以當(dāng)x∈(0，

a

)時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（a，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，
故當(dāng)k是偶數(shù)時(shí)，f（x）在(0，

a

)是減函數(shù)，在（a，+∞）是增函數(shù)．
（2）若k=2015，則f（x）=x²-2alnx（k∈N^*）
記g（x）=f（x）-2ax=x²-2axlnx-2ax，g′(x)=2x-

2a

x

-2a=

2

x

(x2-ax-a)，
若方程f（x）=2ax有唯一解，即g（x）=0有唯一解；
令g'（x）=0，得x²-ax-a=0，
∵a＞0，x＞0∴x 1=

a- a2+4a

2

＜0（舍去）x 2=

a+ a2+4a

2

當(dāng)x∈（0，x₂）時(shí)，g'（x）＜0，g（x）在（0，x₂）是單調(diào)遞減函數(shù)；
當(dāng)x∈（x₂，+∞）時(shí)，g'（x）＞0，g（x）在（x₂，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)．
當(dāng)x=x₂時(shí)，g'（x₂）=0，g（x）_min=g（x₂）．
∵g（x）=0有唯一解，∴g（x₂）=0
則

g(x2)=0 g′(x2)=0

，即

x22-2alnx2-2ax2=0 x22-ax 2-a=0

，
alnx₂+ax₂-a=0∵a＞0，∴2lnx₂+x₂-1=0（*）
設(shè)函數(shù)h（x）=2lnx+x-1，
∵在x＞0時(shí)，h（x）是增函數(shù)，∴h（x）=0至多有一解．
∵h(yuǎn)（1）=0，∴方程（*）的解為x₂=1，即

a+ a2+4a

2

=1，解得a=

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，構(gòu)造法的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．