Question

在正三菱錐A-BCD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，EF⊥DE，BC=1，則三梭錐A-BCD的體積為

 

．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：設(shè)AB=AC=AD=x，得DF=

3

2

，EF=

AD

2

=

x

2

，設(shè)ED=y，由余弦定理得y=

1 2 + x2 4

，由勾股定理，解得x=

2

2

，由此能求出三錐錐A-BCD的體積．

解答： 解：設(shè)AB=AC=AD=x，
∵正三錐錐A-BCD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，EF⊥DE，BE=1，
∴DF=

3

2

，EF=

AD

2

=

x

2

，
在等腰三角形ABD中，AB=AD=x，BE=

x

2

，BD=1，
設(shè)ED=y，由余弦定理得y=

1 2 + x2 4

，
又EF⊥DE，由勾股定理，得EF²+ED²=DF²，即

x2

4

+y2=

3

4

，解得x=

2

2

，
∴斜邊為

2

2

，過A做底面投影O，
則DO=

2DF

3

=

3

3

，AD=

2

2

，得高AO=

6

6

，
∴三錐錐A-BCD的體積V=

1

3

Sh=

1

3

×S△BCD×AO=

1

3

×（

1

2

×1×

3

2

）×

6

6

=

2

24

．
故答案為：

2

24

．

點評：本題考查三棱錐的體積的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的合理運(yùn)用．