Question

5．如圖：在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，AB=BC=AA₁=2，且與C在
底面A₁B₁C₁上的射影D₁為A₁C₁邊的中點(diǎn)，D為AC的中點(diǎn)．
（1）求證：BD丄平面ACC₁A₁；
（2）設(shè)CC₁、B₁C₁的中點(diǎn)分別為E、M，求V${\;}_{C-E{D}_{1}M}$的值．

Answer 1

分析 （1）證明B₁D₁⊥平面ACC₁A₁，B₁D₁平行且等于BD，即可證明BD丄平面ACC₁A₁；
（2）利用等體積轉(zhuǎn)換求V${\;}_{C-E{D}_{1}M}$的值．

解答 （1）證明：∵點(diǎn)C在底面A₁B₁C₁上的射影D₁，
∴CD₁⊥平面A₁B₁C₁，
∴B₁D₁⊥CD₁，…（2分）
∵∠ABC=90°，∠A₁B₁C₁=90°，AB=BC，∴B₁D₁⊥A₁C₁，
∴B₁D₁⊥平面ACC₁A₁，…（4分）
連接DD₁，B₁D₁，
∵DD₁平行且等于BB₁，
∴四邊形BB₁D₁D為平行四邊形，
∴B₁D₁平行且等于BD，
∴BD丄平面ACC₁A₁；…（6分）
（2）解：取D₁C₁的中點(diǎn)N，∴MN⊥D₁C₁，…（7分）
又MN⊥CD₁，∴MN⊥平面CD₁E…（8分）
∴V${\;}_{C-E{D}_{1}M}$=${V}_{M-C{D}_{1}E}$=$\frac{1}{3}•\frac{\sqrt{2}}{2}•\frac{1}{2}•\sqrt{2}•\sqrt{2}•\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{12}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的證明，考查三棱錐體積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確轉(zhuǎn)換是關(guān)鍵．