Question

14．如圖，有一塊荒地，形狀為一個(gè)角，把這個(gè)角記為∠A（角的兩邊足夠長(zhǎng)），經(jīng)測(cè)量∠A=120°，現(xiàn)在分別在∠A的兩邊選取P，Q兩點(diǎn)，且PQ=200米．
（1）若把△APQ修建成一游樂場(chǎng)，如何修建才能使游樂場(chǎng)△APQ面積最大？求出最大值．
（2）若在△APQ邊緣鋪設(shè)小道（寬度忽略不計(jì)），求小道的總長(zhǎng)度的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)AP=x，AQ=y，則由余弦定理和基本不等式可得xy≤$\frac{20{0}^{2}}{3}$，再由三角形定點(diǎn)面積公式和不等式的性質(zhì)可得；
（2）由（1）和基本不等式整體可得可x+y的不等式，解不等式可得范圍，再由三角形的三邊關(guān)系可得x+y的范圍，可得x+y+200的范圍．

解答 解：（1）設(shè)AP=x，AQ=y，則由余弦定理可得200²=x²+y²-2xycos120°
=x²+y²-2xy（-$\frac{1}{2}$）=x²+y²+xy≥2xy+xy=3xy，故xy≤$\frac{20{0}^{2}}{3}$，
∴△APQ面積S=$\frac{1}{2}$xysin120°=$\frac{\sqrt{3}}{4}$xy≤$\frac{\sqrt{3}}{4}$•$\frac{20{0}^{2}}{3}$=$\frac{10000\sqrt{3}}{3}$，
當(dāng)且僅當(dāng)x=y=$\frac{200\sqrt{3}}{3}$時(shí)，S取最大值$\frac{10000\sqrt{3}}{3}$；
（2）由（1）可得200²=x²+y²+xy=（x+y）²-xy，
∴（x+y）²-200²=xy≤（$\frac{x+y}{2}$）²=$\frac{1}{4}$（x+y）²，
解不等式可得x+y≤$\frac{400\sqrt{3}}{3}$，
再由三角形的三邊關(guān)系可得x+y＞200，
∴小道的總長(zhǎng)度為x+y+200＞400且x+y+200≤$\frac{400\sqrt{3}}{3}$+200
故小道的總長(zhǎng)度的取值范圍為（400，$\frac{400\sqrt{3}}{3}$+200]

點(diǎn)評(píng) 本題考查解三角形的實(shí)際應(yīng)用，涉及基本不等式求最值和整體思想，屬中檔題．