Question

5．在△ABC中，O是外接圓的圓心，若$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OC}$=-$\frac{1}{2}$，∠A=60°，則△ABC周長(zhǎng)的最大值3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由條件可得外接圓的半徑為r=1，BC=$\sqrt{3}$，再利用余弦定理、基本不等式求得△ABC周長(zhǎng)的最大值．

解答 解：△ABC中，∵O是外接圓的圓心，設(shè)外接圓的半徑為r，
∵∠A=60°，∴∠BOC=120°，由 $\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OC}$=-$\frac{1}{2}$，可得r•r•cos120°=-$\frac{1}{2}$•r²=-$\frac{1}{2}$，
∴r=1，∴BC=$\sqrt{{r}^{2}{+r}^{2}-2r•r•cos120°}$=$\sqrt{3}$．
△ABC中，由余弦定理可得BC²=3=CA²+AB²-2CA•AB•cos60°=AC²+AB²-CA•CB
=（AB+AC）²-3AB•AC≥（AB+AC）²-3${（\frac{AB+AC}{2}）}^{2}$，
求得（AB+AC）²≤12，∴AB+AC≤2$\sqrt{3}$，∴△ABC周長(zhǎng)AB+AC+BC≤3$\sqrt{3}$，
故△ABC周長(zhǎng)的最大值為$3\sqrt{3}$，
故答案為：3$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，余弦定理以及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．