Question

2．已知直線l的參數(shù)方程為 $\left\{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=3-2t}\end{array}\right.$（t是參數(shù)），以平面直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程是ρ=4sinθ．
（1）求圓C的直角坐標(biāo)方程；
（2）已知點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為（2，1）直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）由圓C的極坐標(biāo)ρ=4sinθ 根據(jù)x=ρcosθ、y=ρsinθ化為直角坐標(biāo)方程．
（2）由題意可得直線的方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{\sqrt{5}}t′}\\{y=1-\frac{2}{\sqrt{5}}t′}\end{array}\right.$（t′是參數(shù)），代入曲線方程化簡(jiǎn)求得t′₁t₂′=1，可得|PA|•|PB|=|t₁′|•|t₂′|的值．

解答 解：（1）由圓C的極坐標(biāo)ρ=4sinθ，即 ρ²=4ρsinθ，可得直角坐標(biāo)方程為 x²+（y-2）²=4，
表示以（0，2）為圓心、半徑等于2的圓．
（2）由直線l過(guò)點(diǎn)P（2，1），可得直線的方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{\sqrt{5}}t′}\\{y=1-\frac{2}{\sqrt{5}}t′}\end{array}\right.$（t′是參數(shù)），
把直線方程代入曲線方程化簡(jiǎn)可得$t{′}^{2}+\frac{8\sqrt{5}}{5}t′+1$=0
設(shè)A、B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t′₁、t′₂，則t′₁t₂′=1，∴|PA|•|PB|=|t₁′|•|t₂′|=1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，直線的參數(shù)方程，參數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．