Question

3．如圖，AB是半徑為r的半圓形廣場的直徑，在AB的延長線上一點P處，有一停車場，且BP=r，D為半圓上（靠近停車場一側(cè)）的一點，在點D和P之間修建一條折線形道路DEP，已知DE∥BP，并且DE的長等于點D到AB距離DH的一半，設(shè)∠BOD=θ（O為半圓的圓心），f（θ）=$\frac{HP}{DE}$．
（1）求函數(shù)f（θ）的解析式；
（2）求f（θ）的最小值及對應(yīng)的θ值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得HD=rsinθ，OH=rcosθ，從而可得HP=2r-rcosθ，DE=$\frac{1}{2}$HD=$\frac{1}{2}$rsinθ，從而化簡f（θ）=$\frac{HP}{DE}$=$\frac{2r-rcosθ}{\frac{1}{2}rsinθ}$=$\frac{4-2cosθ}{sinθ}$（0＜θ≤$\frac{π}{2}$）；
（2）求導(dǎo)f′（θ）=$\frac{2sinθsinθ-（4-2cosθ）cosθ}{si{n}^{2}θ}$=$\frac{2-4cosθ}{si{n}^{2}θ}$；從而由導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性再求最小值及最小值點．

解答 解：（1）由題意得，
HD=rsinθ，OH=rcosθ；
故HP=2r-rcosθ，DE=$\frac{1}{2}$HD=$\frac{1}{2}$rsinθ，
故f（θ）=$\frac{HP}{DE}$=$\frac{2r-rcosθ}{\frac{1}{2}rsinθ}$=$\frac{4-2cosθ}{sinθ}$（0＜θ≤$\frac{π}{2}$）；
（2）∵f（θ）=$\frac{4-2cosθ}{sinθ}$，
∴f′（θ）=$\frac{2sinθsinθ-（4-2cosθ）cosθ}{si{n}^{2}θ}$=$\frac{2-4cosθ}{si{n}^{2}θ}$；
∴當(dāng)θ∈（0，$\frac{π}{3}$）時，f′（θ）＜0，
當(dāng)θ∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]時，f′（θ）＞0；
故f（θ）=$\frac{4-2cosθ}{sinθ}$在（0，$\frac{π}{3}$）上單調(diào)遞減，在[$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]上單調(diào)遞增；
故當(dāng)θ=$\frac{π}{3}$時，f（θ）取得最小值f（$\frac{π}{3}$）=2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用及導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，同時考查了三角函數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題．