Question

已知向量

a

=（1，cos2x），

b

=（sin2x，-

3

），函數(shù)f（x）=

a

•

b

．
（1）若x=

π

3

，求|

a

|；
（2）若f（

a

2

+

2π

3

）=

6

5

，求f（a+

5π

12

）的值；
（3）若x∈[0，

π

2

]，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：（1）運(yùn)用模的公式，即可得到；
（2）運(yùn)用平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和兩角差的正弦公式及二倍角的余弦公式，即可得到；
（3）由x∈[0，

π

2

]，則2x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，運(yùn)用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可得到值域．

解答： 解：（1）

a

=（1，cos2x）=（1，-

1

2

），
則|

a

|=

1+ 1 4

=

5

2

；
（2）向量

a

=（1，cos2x），

b

=（sin2x，-

3

），
則函數(shù)f（x）=

a

•

b

=sin2x-

3

cos2x=2sin（2x-

π

3

），
f（

α

2

+

2π

3

）=2sin（α+

4π

3

-

π

3

）=-2sinα=

6

5

，
則sinα=-

3

5

，
f（α+

5π

12

）=2sin（2α+

5π

6

-

π

3

）=2cos2α=2（1-2sin²α）
=2（1-2×

9

25

）=

14

25

；
（3）由x∈[0，

π

2

]，則2x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，
sin（2x-

π

3

）∈[-

3

2

，1]，則f（x）∈[-

3

，2]．
則f（x）的值域?yàn)閇-

3

，2]．

點(diǎn)評：本題考查平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)公式和性質(zhì)，考查兩角和差的正弦公式，及二倍角的余弦公式的運(yùn)用，考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．