Question

13．已知三點(diǎn)A（1，1）、B（5，3）、C（2，5）．
（1）求直線AB上的中線l及AC邊上的高所在的直線方程；
（2）設(shè)M是直線x+y-3=0上任意一點(diǎn)，求|MA|-|MB|取最大值時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由AB邊的中點(diǎn)為（3，2），利用兩點(diǎn)式求出AB邊上的中線所在直線的方程；由${k}_{AC}=\frac{5-1}{2-1}=4$，知AC邊上的高所在直線的斜率k=-$\frac{1}{4}$，由此利用點(diǎn)斜式方程求出AC邊上的高所在直線的方程；
（2）找B（5，3）關(guān)于直線x+y-3=0的對稱點(diǎn)B′，求出過A、B′的直線方程，再與直線x+y-3=0聯(lián)立求得M點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵AB邊的中點(diǎn)為（3，2），
∴AB邊上的中線所在的直線方程為$\frac{y-2}{5-2}=\frac{x-3}{2-3}$，
整理，得3x+y-11=0．
∵A（1，1）、B（5，3）、C（2，5），
∴${k}_{AC}=\frac{5-1}{2-1}=4$，∴AC邊上的高所在直線的斜率k=-$\frac{1}{4}$，
∴AC邊上的高所在直線的方程為y-3=-$\frac{1}{4}$（x-5），
整理，得x+4y-17=0；
（2）如圖，設(shè)B（5，3）關(guān)于直線x+y-3=0的對稱點(diǎn)B′（x₁，y₁），
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{1}+5}{2}+\frac{{y}_{1}+3}{2}-3=0}\\{\frac{{y}_{1}-3}{{x}_{1}-5}=1}\end{array}\right.$，解得：B′（0，-2）．
∴過A、B′的直線方程為$\frac{y-1}{-2-1}=\frac{x-1}{0-1}$，即3x-y-2=0．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{3x-y-2=0}\\{x+y-3=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{4}}\\{y=\frac{7}{4}}\end{array}\right.$．
∴|MA|-|MB|取最大值時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（$\frac{5}{4}，\frac{7}{4}$）．

點(diǎn)評 本題考查利用直線的點(diǎn)斜式方程求解直線方程，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法及數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．