Question

18．已知函數(shù)f（x）=x²-3x．若對于區(qū)間[-3，2]上任意的x₁、x₂．都有|f（x₁）-f（x₂）|≤m，則實(shí)數(shù)m的最小值是$\frac{81}{4}$．

Answer 1

分析 對于區(qū)間[-3，2]上的任意x₁，x₂都有|f（x₁）-f（x₂）|≤t，等價(jià)于對于區(qū)間[-3，2]上的任意x，都有f（x）_max-f（x）_min≤m，利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求最值，即可得出結(jié)論．

解答 解：對于區(qū)間[-3，2]上的任意x₁，x₂都有|f（x₁）-f（x₂）|≤m，等價(jià)于對于區(qū)間[-3，2]上的任意x，都有f（x）_max-f（x）_min≤m，
∵f（x）=x²-3x，
∴函數(shù)在[-3，$\frac{3}{2}$]上單調(diào)遞減，在[$\frac{3}{2}$，2]上單調(diào)遞增，
∴f（x）_max=f（-3）=18，f（x）_min=f（$\frac{3}{2}$）=-$\frac{9}{4}$，
∴f（x）_max-f（x）_min=$\frac{81}{4}$，
∴m≥$\frac{81}{4}$，
∴實(shí)數(shù)m的最小值是$\frac{81}{4}$，
故答案為：$\frac{81}{4}$

點(diǎn)評 本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查恒成立問題，確定函數(shù)的最值是關(guān)鍵．