已知f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c有極大值f（a）和極小值f（b）。

（1）求f（a）＋f（b）；

（2）設(shè)曲線y＝f（x）的極值點(diǎn)為A、B，求證：A、B連線的中點(diǎn)M在y＝f（x）上。

 

答案：
解析：

解：∵ f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，∴ f′（x）＝3x3＋2ax＋b，

令f′（x）＝0，得3x3＋2ax＋b＝0。

∵ a、b是方程3x3＋2ax＋b＝0的兩個(gè)根，∴ a＋b＝－，a、b＝。

（1）f（a）＋f（b）＝a3＋aa2＋ba＋c＋b3＋a b2＋bb＋c

＝（a3＋b3）＋a（a2＋b3）＋b（a＋b）＋2c

＝（a＋b）［（a＋b）2－3a b］＋a［（a＋b）2-2 a b ］＋b（a＋b）＋2c

＝－·［（－）2－3·］＋a［（－）2－2·］＋b（－）＋2c

＝－＋＋－－＋2c

＝－＋2c。

（2）證明：由（1）已知，A、B的中點(diǎn)M為（，［f（a）＋f（b）］），

∴ M（－，－＋c）。

又f（）＝f（－）

＝（－）3＋a（－）2＋b（－）＋c

＝－＋－＋c

＝－＋c

＝［f（a）＋f（b）］，

∴ A、B連線的中點(diǎn)M在y＝f（x）上。

 

 


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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已知f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c有極大值f（a）和極小值f（b）。

（1）求f（a）＋f（b）；

（2）設(shè)曲線y＝f（x）的極值點(diǎn)為A、B，求證：A、B連線的中點(diǎn)M在y＝f（x）上。

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－與x＝1時(shí)都取得極值

（1）       求a、b的值與函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間

（2）       若對xÎ〔－1，2〕，不等式f（x）<c2恒成立，求c的取值范圍。

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已知函數(shù)f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－與x＝1時(shí)都取得極值.

   （1）求a、b的值；

   （2）若函數(shù)f（x）的圖象與x軸有3個(gè)交點(diǎn)，求c的取值范圍。

 

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已知函數(shù)f（x）＝x3＋ax2＋bx＋1在x＝－與x＝1時(shí)都取得極值。

 (1)求a、b的值與函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

(2)求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間

 

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