已知f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c有極大值f（a）和極小值f（b）。

（1）求f（a）＋f（b）；

（2）設曲線y＝f（x）的極值點為A、B，求證：A、B連線的中點M在y＝f（x）上。

 

答案：
解析：

解：∵ f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，∴ f′（x）＝3x3＋2ax＋b，

令f′（x）＝0，得3x3＋2ax＋b＝0。

∵ a、b是方程3x3＋2ax＋b＝0的兩個根，∴ a＋b＝－，a、b＝。

（1）f（a）＋f（b）＝a3＋aa2＋ba＋c＋b3＋a b2＋bb＋c

＝（a3＋b3）＋a（a2＋b3）＋b（a＋b）＋2c

＝（a＋b）［（a＋b）2－3a b］＋a［（a＋b）2-2 a b ］＋b（a＋b）＋2c

＝－·［（－）2－3·］＋a［（－）2－2·］＋b（－）＋2c

＝－＋＋－－＋2c

＝－＋2c。

（2）證明：由（1）已知，A、B的中點M為（，［f（a）＋f（b）］），

∴ M（－，－＋c）。

又f（）＝f（－）

＝（－）3＋a（－）2＋b（－）＋c

＝－＋－＋c

＝－＋c

＝［f（a）＋f（b）］，

∴ A、B連線的中點M在y＝f（x）上。

 

 


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：數(shù)學教研室 題型：044

已知f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c有極大值f（a）和極小值f（b）。

（1）求f（a）＋f（b）；

（2）設曲線y＝f（x）的極值點為A、B，求證：A、B連線的中點M在y＝f（x）上。

 

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－與x＝1時都取得極值

（1）       求a、b的值與函數(shù)f（x）的單調區(qū)間

（2）       若對xÎ〔－1，2〕，不等式f（x）<c2恒成立，求c的取值范圍。

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已知函數(shù)f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－與x＝1時都取得極值.

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   （2）若函數(shù)f（x）的圖象與x軸有3個交點，求c的取值范圍。

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2012屆遼寧省大連市高二上學期期末考試（文科）試題 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）＝x3＋ax2＋bx＋1在x＝－與x＝1時都取得極值。

 (1)求a、b的值與函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；

(2)求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間

 

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