Question

9．已知△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且2acosB=ccosB+bcosC
（1）求角B的大小；
（2）設(shè)向量$\overrightarrow m$=（cosA，cos2A），$\overrightarrow n$=（12，-5），邊長a=4，求當(dāng)$\overrightarrow m•\overrightarrow n$取最大值時(shí)，三角形的面積S_△ABC的值．

Answer 1

分析 （1）由已知及正弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式化簡可得cosB的值，利用特殊角的三角函數(shù)值即可得解B的值．
（2）利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算化簡可得$\overrightarrow m•\overrightarrow n$=-10（cosA-$\frac{3}{5}$）²+$\frac{43}{5}$，利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得當(dāng)$cosA=\frac{3}{5}$時(shí)，$\overrightarrow m•\overrightarrow n$取最大值，此時(shí)$sinA=\frac{4}{5}$，由正弦定理可求b，進(jìn)而求得sinC，利用三角形面積公式即可計(jì)算得解．

解答 解：（1）因?yàn)橛深}意：2sinAcosB=sinCcosB+cosCsinB=sin（B+C）=sinA，
又因?yàn)椋簊inA≠0，可得：cosB=$\frac{1}{2}$，
所以：B=$\frac{π}{3}$．
（2）因?yàn)椋?\overrightarrow m•\overrightarrow n=12cosA-5cos2A$，
所以：$\overrightarrow m•\overrightarrow n=12cosA-5cos2A$=-10cos²A+12cosA+5=-10（cosA-$\frac{3}{5}$）²+$\frac{43}{5}$，
所以：當(dāng)$cosA=\frac{3}{5}$時(shí)，$\overrightarrow m•\overrightarrow n$取最大值，此時(shí)$sinA=\frac{4}{5}$，
因?yàn)椋篴=4，由正弦定理得：$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$，
所以：b=$\frac{asinB}{sinA}$=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{4+3\sqrt{3}}{10}$，
所以：${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC$=$\frac{4\sqrt{3}+9}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，特殊角的三角函數(shù)值，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，正弦定理，三角形面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．