Question

20．已知直線l₁：3x-4y-4=0與直線l₂：（a+7）x+ay+6=0（a∈R）平行．
（1）求a的值；
（2）若圓心在直線l：y=x+1上的圓與直線l₁，l₂均相切，求圓的方程．

Answer 1

分析 （1）利用兩條直線平行的條件，即可求a的值；
（2）設直線l₁與直線l的交點為A，由$\left\{\begin{array}{l}3x-4y-4=0\\ y=x+1\end{array}\right.$得A（-8，-7），設直線l₂與直線l的交點為B，由$\left\{\begin{array}{l}3x-4y+6=0\\ y=x+1\end{array}\right.$得B（2，3），線段AB的中點就是圓心，即可求圓的方程．

解答 解：（1）∵直線l₁：3x-4y-4=0與直線l₂：（a+7）x+ay+6=0（a∈R）平行，
∴$\frac{a+7}{3}=\frac{a}{-4}≠\frac{6}{-4}$，…（3分）
解得a=-4．…（5分）
（2）設直線l₁：3x-4y-4=0與直線l₂：3x-4y+6=0的距離為d，
在直線l₁上取點（0，-1），∴$d=\frac{{|3×0-4×（{-1}）+6|}}{{\sqrt{{3^2}+{{（{-4}）}^2}}}}=2$，…（7分）
∴圓的半徑為$\fracobrcalg{2}=1$．…（8分）
設直線l₁與直線l的交點為A，由$\left\{\begin{array}{l}3x-4y-4=0\\ y=x+1\end{array}\right.$得A（-8，-7），…（9分）
設直線l₂與直線l的交點為B，由$\left\{\begin{array}{l}3x-4y+6=0\\ y=x+1\end{array}\right.$得B（2，3），…（10分）
∵線段AB的中點就是圓心∴圓心坐標為（-3，-2），…（11分）
∴所求圓的方程為（x+3）²+（y+2）²=1，即x²+y²+6x+4y+12=0．…（12分）

點評 本題考查直線與直線的位置關系，考查圓的方程，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．