20.已知直線l1:3x-4y-4=0與直線l2:(a+7)x+ay+6=0(a∈R)平行.
(1)求a的值;
(2)若圓心在直線l:y=x+1上的圓與直線l1,l2均相切,求圓的方程.

分析 (1)利用兩條直線平行的條件,即可求a的值;
(2)設直線l1與直線l的交點為A,由$\left\{\begin{array}{l}3x-4y-4=0\\ y=x+1\end{array}\right.$得A(-8,-7),設直線l2與直線l的交點為B,由$\left\{\begin{array}{l}3x-4y+6=0\\ y=x+1\end{array}\right.$得B(2,3),線段AB的中點就是圓心,即可求圓的方程.

解答 解:(1)∵直線l1:3x-4y-4=0與直線l2:(a+7)x+ay+6=0(a∈R)平行,
∴$\frac{a+7}{3}=\frac{a}{-4}≠\frac{6}{-4}$,…(3分)
解得a=-4.…(5分)
(2)設直線l1:3x-4y-4=0與直線l2:3x-4y+6=0的距離為d,
在直線l1上取點(0,-1),∴$d=\frac{{|3×0-4×({-1})+6|}}{{\sqrt{{3^2}+{{({-4})}^2}}}}=2$,…(7分)
∴圓的半徑為$\fracobrcalg{2}=1$.…(8分)
設直線l1與直線l的交點為A,由$\left\{\begin{array}{l}3x-4y-4=0\\ y=x+1\end{array}\right.$得A(-8,-7),…(9分)
設直線l2與直線l的交點為B,由$\left\{\begin{array}{l}3x-4y+6=0\\ y=x+1\end{array}\right.$得B(2,3),…(10分)
∵線段AB的中點就是圓心∴圓心坐標為(-3,-2),…(11分)
∴所求圓的方程為(x+3)2+(y+2)2=1,即x2+y2+6x+4y+12=0.…(12分)

點評 本題考查直線與直線的位置關系,考查圓的方程,考查學生分析解決問題的能力,屬于中檔題.

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