Question

12．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的上頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，橢圓C上存在點(diǎn)P使線段OP被直線AF平分，則橢圓C的離心率的取值范圍是$（0，\frac{\sqrt{3}}{3}]$．

Answer 1

分析 設(shè)P（x₀，y₀），則線段OP的中點(diǎn)為M$（\frac{{x}_{0}}{2}，\frac{{y}_{0}}{2}）$．把點(diǎn)M的坐標(biāo)代入直線AF的方程可得：$\frac{{x}_{0}}{2c}$+$\frac{{y}_{0}}{2b}$=1，與$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}^{2}}{^{2}}$=1聯(lián)立，利用△≥0，及其離心率計(jì)算公式即可得出．

解答 解：設(shè)P（x₀，y₀），則線段OP的中點(diǎn)為M$（\frac{{x}_{0}}{2}，\frac{{y}_{0}}{2}）$．
直線AF的方程為：$\frac{x}{c}+\frac{y}$=1，
把點(diǎn)M的坐標(biāo)代入可得：$\frac{{x}_{0}}{2c}$+$\frac{{y}_{0}}{2b}$=1，
與$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}^{2}}{^{2}}$=1聯(lián)立可得：$（{a}^{2}+{c}^{2}）{x}_{0}^{2}$-4a²cx₀+3a²c²=0，
△=16a⁴c²-12a²c²（a²+c²）≥0，
化為a²≥3c²，
解得$0＜e≤\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴橢圓C的離心率的取值范圍是$（0，\frac{\sqrt{3}}{3}]$．
故答案為：$（0，\frac{\sqrt{3}}{3}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．