Question

3．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{x}{2}$+sinx的所有正的極小值點(diǎn)從小到大排成的數(shù)列{x_n}．
（1）求數(shù)列{x_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令b_n=$\frac{x_n}{2π}$，設(shè)數(shù)列$\left\{{\frac{1}{{{b_n}•{b_{n+1}}}}}\right\}$的前n項(xiàng)和為s_n，求證S_n＜$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間；可得極小值，進(jìn)而得到所求通項(xiàng)公式；
（2）求得b_n=$\frac{x_n}{2π}$=$n-\frac{1}{3}=\frac{3n-1}{3}$，$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{3}{3n-1}$•$\frac{3}{3n+2}$，運(yùn)用裂項(xiàng)相消求和，以及不等式的性質(zhì)即可得證．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{x}{2}$+sinx，
令$f'（x）=\frac{1}{2}+cosx=0$，得$x=2kπ±\frac{2π}{3}$（k∈Z），
f'（x）＞0⇒$2kπ-\frac{2π}{3}＜x$$＜2kπ+\frac{2π}{3}$（k∈Z），
f'（x）＜0⇒$2kπ+\frac{2π}{3}＜x$$＜2kπ+\frac{4π}{3}$（k∈Z），
當(dāng)$x=2kπ-\frac{2π}{3}$（k∈Z）時(shí)，f（x）取得極小值，
所以${x_n}=2nπ-\frac{2π}{3}$（n∈N^*）；
（2）證明：∵b_n=$\frac{x_n}{2π}$=$n-\frac{1}{3}=\frac{3n-1}{3}$，
∴$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{3}{3n-1}$•$\frac{3}{3n+2}$=$3（\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}）$，
∴${s_n}=3（\frac{1}{2}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{8}$$+…+\frac{1}{{3n-{1^{\;}}}}-\frac{1}{3n+2}）$=$3（\frac{1}{2}-\frac{1}{{3n+{2^{\;}}}}）$=$\frac{3}{2}-\frac{3}{3n+2}$，
∴${s_n}＜\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求極值，考查數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，考查不等式的證明，注意運(yùn)用不等式的性質(zhì)，屬于中檔題．