Question

13．已知f（x），g（x）都是定義在R上的函數(shù)，g（x）≠0，f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），且f（x）=a^xg（x）（a＞0且a≠1），$\frac{f（1）}{g（1）}+\frac{{f（{-1}）}}{{g（{-1}）}}=\frac{5}{2}$，則曲線$y=\frac{f（x）}{g（x）}$在x=1處的切線方程為：xln2+2y-ln2-1=0．

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）、g（x）滿足f（x）=a^xg（x），h（x）=$\frac{f（x）}{g（x）}$=a^x．由于f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），可得h′（x）＜0，于是函數(shù)h（x）在R上單調(diào)遞減，0＜a＜1．利用$\frac{f（1）}{g（1）}+\frac{{f（{-1}）}}{{g（{-1}）}}=\frac{5}{2}$解得a，可得y=h（x）的解析式，求出函數(shù)在x=1處的導(dǎo)數(shù)，由直線方程的點斜式得答案．

解答 解：∵函數(shù)f（x）、g（x）滿足f（x）=a^xg（x），∴令h（x）=$\frac{f（x）}{g（x）}$=a^x，
∵f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），
∴h′（x）=$\frac{f′（x）g（x）-f（x）g′（x）}{{g}^{2}（x）}$＜0，
∴函數(shù)h（x）在R上單調(diào)遞減，則0＜a＜1．
∵$\frac{f（1）}{g（1）}+\frac{{f（{-1}）}}{{g（{-1}）}}=\frac{5}{2}$，
∴a+a^-1=$\frac{5}{2}$，
解得a=$\frac{1}{2}$．
則y=h（x）=$\frac{f（x）}{g（x）}$=$（\frac{1}{2}）^{x}$，
h（1）=$\frac{1}{2}$，
h′（1）=$\frac{1}{2}ln\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}ln2$，
則曲線$y=\frac{f（x）}{g（x）}$在x=1處的切線方程為y$-\frac{1}{2}$=$-\frac{1}{2}ln2（x-1）$，
整理得：xln2+2y-ln2-1=0．
故答案為：xln2+2y-ln2-1=0．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、考查了利用導(dǎo)數(shù)求過曲線上某點處的切線方程，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．