Question

5． 如圖，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面四邊形ABCD為菱形，∠ABC=60°，AA₁=AC=2，A₁B=A₁D=2$\sqrt{2}$，點E在線段A₁D上．
（Ⅰ）證明：AA₁⊥平面ABCD；
（Ⅱ）當$\frac{{A}_{1}E}{ED}$為何值時，A₁B∥平面EAC，并求出此時三棱錐E-ACD的體積．

Answer 1

分析 （I）使用菱形的性質(zhì)和勾股定理的逆定理證明AA₁⊥AB，AA₁⊥AD，從而得出AA₁⊥平面ABCD；
（II）當E為A₁D中點時，由中位線定理即可得出A₁B∥平面EAC．

解答 解：（Ⅰ）∵底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴AB=AD=AC=2，
∵AA₁=2，∴AA₁²+AB²=A₁B²，∴AA₁⊥AB．
同理，AA₁⊥AD，又∵AB?平面ABCD，AD?平面ABCD，AB∩AD=A．
∴AA₁⊥平面ABCD．
（Ⅱ）當E為A₁D的中點時，A₁B∥平面EAC．
證明：連接BD交AC于O，連接OE，則OE∥A₁B，
∴A₁B∥平面EAC，此時$\frac{{A}_{1}E}{ED}=\frac{BO}{OD}=1$．
∴設(shè)AD的中點為F，連接EF，則EF∥AA₁，∴EF⊥平面ACD，且EF=1．
∴三棱錐E-ACD的體積V_E-ACD=$\frac{1}{3}×1×\frac{1}{2}×2×2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了線面平行，線面垂直的判定，棱錐的體積計算，屬于基礎(chǔ)題．