Question

16．已知數(shù)列{a_n}中，a_n＞0，且3a_n+1²=a_n（a_n-2a_n+1），a₁=1．
（1）求證：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；
（2）若b_n=$\frac{1}{n}$（log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n），且數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求T_n的最大值．

Answer 1

分析 （1）由3a_n+1²=a_n（a_n-2a_n+1），因式分解為（3a_n+1-a_n）（a_n+1+a_n）=0，由于a_n＞0，可得a_n+1=$\frac{1}{3}{a}_{n}$，即可證明；
（2）由（1）可得log₃a_n=1-n．可得b_n=$\frac{1}{n}$[（1-1）+（1-2）+…+（1-n）]=$\frac{1-n}{2}$，由b_n≥0，解得n≤1，即可得出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n的最大值．

解答 （1）證明：由3a_n+1²=a_n（a_n-2a_n+1），化為（3a_n+1-a_n）（a_n+1+a_n）=0，
∵a_n＞0，
∴3a_n+1-a_n=0，即a_n+1=$\frac{1}{3}{a}_{n}$，
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比為$\frac{1}{3}$．
∴a_n=$（\frac{1}{3}）^{n-1}$．
（2）解：由（1）可得log₃a_n=$lo{g}_{3}（\frac{1}{3}）^{n-1}$=1-n．
∴b_n=$\frac{1}{n}$（log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n）=$\frac{1}{n}$[（1-1）+（1-2）+…+（1-n）]=$\frac{1}{n}[n-\frac{n（n+1）}{2}]$=1-$\frac{n+1}{2}$=$\frac{1-n}{2}$，
由b_n≥0，解得n≤1，
∴當(dāng)n=1時(shí)，T_n取得最大值0．

點(diǎn)評 本題考查了遞推式的應(yīng)用、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了變形能力、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．